數(shù)學(xué)與音樂(lè)：音樂(lè)中的數(shù)學(xué)變換

　　數(shù)學(xué)與音樂(lè)在很多方面有緊密的關(guān)系，數(shù)學(xué)的計(jì)算決定了音樂(lè)中的音律，從五音音律發(fā)展到了七音音律，并且一直沿用至今。樂(lè)器的制作離不開(kāi)數(shù)學(xué)中的平行線公理，這個(gè)公理可適用于各種弦樂(lè)器的測(cè)音。20世紀(jì)下半葉后，美國(guó)音樂(lè)理論家大衛(wèi)·列文以數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的“集合理論”和“群理論”為基礎(chǔ)，逐步創(chuàng)立了“廣義音程與變換”理論。它著眼于音樂(lè)元素家族中音高、音級(jí)、時(shí)值、時(shí)間點(diǎn)、音色等及其聯(lián)合組成的“空間”，承前啟后，成為研究音樂(lè)中數(shù)學(xué)問(wèn)題的典范。古往今來(lái)，音樂(lè)中的數(shù)學(xué)奧秘一直激發(fā)著人類的好奇心與探索力。

　　我們知道在鋼琴的鍵盤(pán)上，從一個(gè)C鍵到下一個(gè)C鍵就是音樂(lè)中的一個(gè)八度音程（如圖一）。其中共包括13個(gè)鍵，有8個(gè)白鍵和5個(gè)黑鍵 ，而5個(gè)黑鍵分成2組 ，一組有2個(gè)黑鍵 ，一組有3個(gè)黑鍵。2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契數(shù)列中的前幾個(gè)數(shù)。

　　圖中的八度音程被黑鍵和白鍵分成12個(gè)半音，并且后一個(gè)C鍵發(fā)出樂(lè)音的振動(dòng)次數(shù)(即頻率) 是前一個(gè)C鍵振動(dòng)次數(shù)的2倍。而十二平均律正描述了音樂(lè)中的等比數(shù)列。我們?nèi)菀浊蟪龇指畋葂，顯然x滿足x12= 2 ，由此得出x是個(gè)無(wú)理數(shù)，大約是0. 1106。于是我們說(shuō)某個(gè)半音的音高是那個(gè)音音高的0.1106 倍，而全音的音高是那個(gè)音的音高 0.11062 倍。在吉它中也存在著同樣的等比數(shù)列。

　　公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派就提出五度相生律。它以一音為基音， 然后將頻率比為3：2的純五度音程作為生律要素，分別向基音兩側(cè)同時(shí)生音。以C為基音，按照五度相生原理向上可生出G、D、A、E、B，向下可生出F、降B、降E、降A(chǔ)、降D、降G。 

　　從C向升號(hào)調(diào)進(jìn)行，前后兩個(gè)調(diào)相差一個(gè)升號(hào)，主音相差五度，從琴鍵來(lái)看即相差7個(gè)半音。所以對(duì)前一個(gè)主音加7就能獲得下一個(gè)調(diào)的主音。反之，從C逆時(shí)針向降號(hào)調(diào)進(jìn)行，前后兩個(gè)調(diào)相差一個(gè)降號(hào)，主音相差四度，從琴鍵來(lái)看相差5個(gè)半音。這種結(jié)論便產(chǎn)生了數(shù)論函數(shù)，運(yùn)用這些函數(shù)可以通過(guò)一部音樂(lè)作品起始處升降號(hào)的數(shù)量非常精確直觀地推導(dǎo)出該部作品調(diào)性即主音。如果n是調(diào)號(hào)中升號(hào)的數(shù)目，則主音由下式給定：

　　如果n是調(diào)號(hào)中降號(hào)的個(gè)數(shù)，則主音由下式給定：

　　我們知道D大調(diào)必須在調(diào)號(hào)中有兩個(gè)升調(diào)號(hào)，

　　即 。

　　音樂(lè)和數(shù)學(xué)的結(jié)合是一種感性和理性的對(duì)話，如果我們能將這種關(guān)系加以完善和利用，一定可以演繹出一種無(wú)與倫比的“完美境界”。而實(shí)際上，現(xiàn)在也有許多作曲家已經(jīng)嘗試用數(shù)學(xué)計(jì)算代替作曲。他們將作曲的過(guò)程公式化，把音程、節(jié)奏等進(jìn)行編程，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行篩選，再將其結(jié)果編寫(xiě)成樂(lè)曲并演奏出來(lái)。

中音在線：在線音樂(lè)學(xué)習(xí)門(mén)戶

• 音樂(lè)考級(jí)、音樂(lè)教程、音樂(lè)高考名師課堂在線學(xué)習(xí)

• 音樂(lè)考級(jí)類網(wǎng)絡(luò)課程

• 音樂(lè)教程名師視頻課堂

• 音樂(lè)高考和考研類視頻網(wǎng)絡(luò)課程