《音樂(lè)是怎樣算成的》：數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間的親密關(guān)系

　　偉大的作曲家伊戈?duì)枴に固乩�文斯基（Igor Stravinsky）曾說(shuō)：“音樂(lè)這種形式和數(shù)學(xué)較為接近——也許不是和數(shù)學(xué)本身相關(guān)，但肯定與數(shù)學(xué)思維和關(guān)系式有關(guān)�！苯裉斓奈恼聡�繞著“弦”，講述了數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間的親密關(guān)系。這場(chǎng)論戰(zhàn)對(duì)微積分之后的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，但音樂(lè)仍然是音樂(lè)，是“靈魂的語(yǔ)言”。本文經(jīng)授權(quán)摘選自《音樂(lè)是怎樣算成的》（北京聯(lián)合出版公司）第四章，標(biāo)題為編輯所加。點(diǎn)擊文末“原文鏈接”可購(gòu)買此書(shū)。點(diǎn)擊“在看”并發(fā)表您的感想至留言區(qū)，截至2021年3月27日中午12點(diǎn)，我們會(huì)選出3條留言，每人贈(zèng)書(shū)一本。

　　撰文 | Eli Maor （以色列理工學(xué)院博士）

　　譯者 | 張嶺 （中科院地質(zhì)與地球物理研究所博士）

　　很久很久以前，也許是 5000 年前的某一天，一位不知名姓的獵人發(fā)現(xiàn)，當(dāng)他撥動(dòng)獵弓的弓弦時(shí)，弓弦發(fā)出的聲音具有某種特定的音高。大約 2500 年前，薩摩斯的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，在琴弦長(zhǎng)度和其音高之間存在著一個(gè)定量關(guān)系，這是人們將音樂(lè)與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)的首次嘗試。但是，要想更為全面地理解兩者之間的關(guān)系，則要等到 18 世紀(jì)，那時(shí)，將有四位偉大的數(shù)學(xué)家致力于解決這一問(wèn)題——他們?cè)噲D用新近創(chuàng)立的微積分來(lái)尋找答案。

　　如果我們撥弄吉他的琴弦，或者用琴錘敲擊鋼琴的琴弦，琴弦的靜止?fàn)顟B(tài)就會(huì)受到擾動(dòng)，那么此時(shí)，問(wèn)題的關(guān)鍵就是如何確定這條緊繃的、柔韌的琴弦的形狀。在前一種情形下，琴弦被賦予初始的位移；而在后一種情形下，琴弦被賦予的則是初始的速度。總之，這兩種情況均給出了琴弦的“初始狀態(tài)”。原則上，根據(jù)初始狀態(tài)就可以確定琴弦在未來(lái)任何時(shí)間的形狀。

　　我們撥弄琴弦的時(shí)候，會(huì)瞬間擾動(dòng)其靜止?fàn)顟B(tài)，琴弦會(huì)形成一個(gè)三角形，盡管這個(gè)三角形又長(zhǎng)又矮（肉眼很難確定高度）。在我們放開(kāi)琴弦的一瞬間，這種干擾會(huì)分成兩個(gè)脈沖，沿相反的方向順著琴弦傳播開(kāi)來(lái)。它們傳播的速度取決于琴弦的物理參數(shù)，即撐住琴弦的張力和琴弦材料的線密度（單位長(zhǎng)度的質(zhì)量）。實(shí)際上，琴弦所起的作用相當(dāng)于一個(gè)一維的波導(dǎo)，使信號(hào)沿著該介質(zhì)傳輸。

　　如果琴弦無(wú)限長(zhǎng)，那么這兩個(gè)脈沖將沿相反的方向永遠(yuǎn)行進(jìn)下去—當(dāng)然，這里有個(gè)假設(shè)條件，即不存在遲滯運(yùn)動(dòng)的摩擦力。但實(shí)際上，琴弦的長(zhǎng)度是有限的；其兩端被緊緊固定，導(dǎo)致兩個(gè)脈沖在兩個(gè)端點(diǎn)間來(lái)回運(yùn)動(dòng)，它們會(huì)周期性地組合成“駐波”（standing wave），即一種上下運(yùn)動(dòng)，而琴弦上的每一個(gè)點(diǎn)都參與其中。這種周期性運(yùn)動(dòng)只能是一種以琴弦的最低頻率，即基頻，振動(dòng)的純粹的正弦波，或者是若干頻率為基頻的2、3、4、…倍的正弦波的疊加組合。這就是我們?cè)谏弦徽轮刑岬降闹C波，它們將琴弦分解成單個(gè)的部分，其波長(zhǎng)分別為基本波長(zhǎng)的1/2、1/3、1/4、…，并且每一部分的振動(dòng)都彼此獨(dú)立。琴弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)則是所有這些波的總和或者疊加。

　　18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家面臨著一個(gè)困境：如何確定琴弦被撥弄時(shí)所形成的初始三角形的形狀？該三角形有一個(gè)尖銳的頂角，它會(huì)演變成許多—也許是無(wú)數(shù)個(gè)—正弦波彼此疊加在一起，每個(gè)波的形狀都異常平滑。這個(gè)問(wèn)題成了一場(chǎng)激烈辯論的焦點(diǎn)，幾乎每位數(shù)學(xué)家都不遺余力地參與其中。他們之中，有四個(gè)名字脫穎而出：丹尼爾·貝爾努利（Daniel Bernoulli， 1700-1782），萊昂哈德·歐拉，讓·勒朗·達(dá)朗貝爾（Jeanle Rond D’Alembert，1717-1783）和約瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）。下面，我們先簡(jiǎn)單介紹一下這四位主角。

　　丹尼爾·貝爾努利是一個(gè)顯赫家族的第二代，他的家族數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家輩出。這個(gè)家族來(lái)自瑞士巴塞爾（Basel），一座安詳寧?kù)o的大學(xué)城。經(jīng)過(guò)五代的傳承，貝爾努利家族至少出過(guò)八位杰出的成員。這些家族成員之間相互競(jìng)爭(zhēng)，彼此嫉妒，他們做出了很多的發(fā)現(xiàn)，也不斷卷入因這些發(fā)現(xiàn)而引起的諸多論戰(zhàn)之中。他們會(huì)就工作中的技術(shù)細(xì)節(jié)激烈辯論，而家族成員之間的論戰(zhàn)對(duì)此更是火上澆油。

　　丹尼爾的父親約翰［Johann，也被稱為讓（Jeanne），1667-1748］，及其兄長(zhǎng)雅各布［Jakob，也被稱為雅克（Jacques）或者詹姆斯（James），1654—1705］是貝爾努利家族在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得非凡成就的第一代成員。老貝爾努利們充分利用新近創(chuàng)立的微積分理論，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的幾個(gè)領(lǐng)域做出了重要的貢獻(xiàn)，其中包括彈性力學(xué)、流體力學(xué)以及振動(dòng)理論等。雅各布還撰寫(xiě)了一篇關(guān)于概率理論的、具有里程碑意義的論文，即《推想的藝術(shù)》（Ars conjectandi，該書(shū)在雅各布去世后于 1713 年出版）。丹尼爾·貝爾努利繼承了父輩的事業(yè)，他在 1738 年發(fā)表的論文《流體力學(xué)》（Hydrodynamica）中提出了一個(gè)以他的姓氏命名的著名定律（即“貝爾努利定律”），為飛行理論奠定了基礎(chǔ)。丹尼爾和父親經(jīng)常投身于相同問(wèn)題的研究工作，他們分享各自的見(jiàn)解，但會(huì)為某些細(xì)枝末節(jié)而爭(zhēng)吵不休。有一次，約翰由于不得不和丹尼爾一起分享巴黎科學(xué)院（Paris Academy of Sciences）的一項(xiàng)殊榮而大為光火，最終將兒子永遠(yuǎn)逐出門(mén)墻。在家族中，丹尼爾是唯一一位在數(shù)學(xué)理論及實(shí)驗(yàn)物理學(xué)方面均取得不朽成就的人，而其他人的最主要成就都是成為數(shù)學(xué)家。

　　在四人當(dāng)中，萊昂哈德·歐拉顯然是成果最為豐碩的一位。他的成果如此繁多，以至于盡管尚未全部出版，就已經(jīng)堆積了大約 70 卷專著，涉及當(dāng)時(shí)已知的所有數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域，包括數(shù)論、力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)，以及他所開(kāi)創(chuàng)的拓?fù)鋵W(xué)。以歐拉命名的定理和公式比其他任何科學(xué)家都多，其中最著名的公式有兩個(gè)。一個(gè)是方程 V - E + F = 2，數(shù)值 V 為任意簡(jiǎn)單多面體（由平面圍成，且不存在任何孔洞的固體）的頂點(diǎn)數(shù)目，E 為邊的數(shù)目，F(xiàn) 為面的數(shù)目，該方程解釋了這三個(gè)數(shù)值之間的關(guān)系。另一個(gè)是謎一般的 eπi + 1 = 0，它將數(shù)學(xué)中最重要的五個(gè)常數(shù)融為一體。該公式中的三個(gè)符號(hào)里，有兩個(gè)，即 e 和 i，是因?yàn)闅W拉才出現(xiàn)在數(shù)學(xué)表達(dá)式的。另外，他還引入了函數(shù)的表示方式 f（x) 。他所發(fā)表的影響力最大的專著是兩卷本的《無(wú)窮小分析引論》（Introductio in analysin infinitorum，1748），被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的奠基之作。從廣義上講，此書(shū)探討了連續(xù)性的問(wèn)題。

　　歐拉出生在巴塞爾，他先師從約翰·貝爾努利，之后于 1720 年入讀巴塞爾大學(xué)，僅用了兩年便從大學(xué)畢業(yè)。1727年，歐拉移居到俄國(guó)圣彼得堡，并在那里待了 14 年。此后，他接受腓特烈大帝（Frederick the Great）的邀請(qǐng)加入柏林科學(xué)院 （Berlin Academy of Sciences）。但是，國(guó)王和他的這位學(xué)者相處得并不融洽，腓特烈更喜歡那種夸夸其談的人，而不是性格羞怯的歐拉。因此，1766 年，年近六旬的歐拉又回到了俄國(guó)，并在那里度過(guò)余生。晚年的歐拉厄運(yùn)不斷：他先是失去了一只眼睛的視力，接著另一只眼睛也失明了；他的房子毀于火災(zāi)，許多手稿都因此遺失；但他的厄運(yùn)遠(yuǎn)不止于此，5 年之后，他的妻子撒手人寰。百折不撓的歐拉再次走進(jìn)婚姻的殿堂，失明也未能阻止他繼續(xù)從事研究工作。他具有強(qiáng)大的專注力，這使他能夠完全憑借心算進(jìn)行最復(fù)雜的計(jì)算。在生活中，歐拉謙遜大度地贊揚(yáng)他人的工作成果，這一特點(diǎn)使他與學(xué)界中的其他人迥然不同。

　　讓·勒朗·達(dá)朗貝爾是巴黎城里一位玻璃匠收養(yǎng)的私生子；這個(gè)剛落地的嬰兒是在圣·讓·勒朗教堂（Church of St. Jean-le-Rond）被人發(fā)現(xiàn)的，于是長(zhǎng)大以后，他就用教堂的名字為自己命名。像同時(shí)代的大多數(shù)數(shù)學(xué)物理學(xué)家一樣，他在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和天體力學(xué)領(lǐng)域涉獵廣泛。1743 年，達(dá)朗貝爾發(fā)表了《動(dòng)力學(xué)》（Traité de dynamique），在該書(shū)中，他提出了一條公式化的定理（“達(dá)朗貝爾原理”），即任何處于外力影響下的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)都可被視為處于靜態(tài)平衡。達(dá)朗貝爾通過(guò)改寫(xiě)牛頓的第二運(yùn)動(dòng)定律得到了自己的定理，將廣為人知的 F = ma 改寫(xiě)成 F-ma = 0，并將該公式解釋為作用于系統(tǒng)上的所有力的總和為零。憑借該定理，達(dá)朗貝爾順利解決了當(dāng)時(shí)困擾眾人的諸多問(wèn)題，包括流體力學(xué)以及地球的分點(diǎn)歲差問(wèn)題。

　　達(dá)朗貝爾曾擔(dān)任《德尼·狄德羅大百科全書(shū)》（the Great Encyclopedia of Denis Diderot）的編輯，這部作品旨在涵蓋當(dāng)時(shí)人類全部的知識(shí)。但天主教會(huì)顯然對(duì)此書(shū)相當(dāng)不滿，也許主要原因在于它以理性而非靈性作為要旨。所以，他最終放棄了自己的編輯身份。后來(lái)，達(dá)朗貝爾設(shè)法陸續(xù)得到了法國(guó)國(guó)王路易十五（Louis XV）、普魯士統(tǒng)治者腓特烈二世（Frederick II），以及俄國(guó)女皇葉卡捷琳娜二世（Catherine II）的青睞。從某種程度上講，達(dá)朗貝爾的性格頗為傲慢，有著強(qiáng)烈的自我意識(shí)，這無(wú)疑與他和當(dāng)權(quán)者之間的聯(lián)系有著密切的關(guān)系。

　　約瑟夫·路易·拉格朗日伯爵是四人之中最年輕的一位；當(dāng)他卷入到有關(guān)振動(dòng)弦問(wèn)題的論戰(zhàn)時(shí)，還是個(gè)寂寂無(wú)聞之輩。盡管他擁有法國(guó)姓名，但是在意大利都靈出生和長(zhǎng)大的。他是家里十一個(gè)孩子中年紀(jì)最小的，也是唯一活到成年的。拉格朗日很早就展示出對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，并在年僅 19 歲時(shí)便成為都靈皇家炮兵學(xué)校（Royal Artillery School of Turin）的教授。1766 年，他遷居德國(guó)，接替歐拉的位置成為柏林科學(xué)院的院 長(zhǎng)。1794 年，他被任命為著名的巴黎綜合理工學(xué)院（école Polytechnique of Paris）的教授。拉格朗日的暮年備受抑郁癥困擾，還未及 50 歲，他的工作成果就直線下降。于是，他將工作重心轉(zhuǎn)移到管理事務(wù)方面。1793 年，在法國(guó)大革命之后，拉格朗日被任命為一個(gè)委員會(huì)的主席，該委員會(huì)負(fù)責(zé)向全世界推廣重量及測(cè)度的公制度量系統(tǒng)，這是法國(guó)對(duì)科學(xué)界最偉大的貢獻(xiàn)之一。

　　拉格朗日的主要貢獻(xiàn)是差分方程（differential equations），以及與離散介質(zhì)和連續(xù)介質(zhì)相關(guān)的力學(xué)領(lǐng)域。他在代數(shù)和數(shù)論方面也做出了卓越的貢獻(xiàn)。他對(duì)牛頓的三大運(yùn)動(dòng)定律做了公式重構(gòu)，即用差分方程以及變分法（calculus of variations）的形式重新構(gòu)建。原有運(yùn)動(dòng)定律的關(guān)注點(diǎn)是作用于系統(tǒng)的力，拉格朗日卻將焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到系統(tǒng)的能量上。拉格朗日引入了 T-U 這個(gè)量（即系統(tǒng)的動(dòng)能與其勢(shì)能之間的差值），并使其成為力學(xué)的核心概念；它也因此被稱為“拉格朗日函數(shù)”（Lagrangian）。憑借這一方法，力學(xué)定律被他用一種完全通用的方式進(jìn)行公式構(gòu)建，而與特定坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。事實(shí)上，拉格朗日將牛頓力學(xué)變成了一個(gè)純數(shù)學(xué)的分支。他從 19 歲起就開(kāi)始動(dòng)手撰寫(xiě)，直到 52 歲時(shí)才全部完成著作《分析力學(xué)》（Mécanique analytique，1788），這部作品在理論力學(xué)領(lǐng)域具有里程碑般的意義。此書(shū)的寫(xiě)作方式更像一本抽象的數(shù)學(xué)專著，全篇沒(méi)有一幅插圖。

　　在 18 世紀(jì)，這四個(gè)人代表著歐洲數(shù)學(xué)界的精英，他們圍繞振動(dòng)弦的問(wèn)題發(fā)表了大量信件、回憶錄、論文以及演講，在學(xué)術(shù)界掀起陣陣波瀾。這幾個(gè)主角在論戰(zhàn)過(guò)程中經(jīng)常變換陣營(yíng)，有時(shí)候會(huì)就某些技術(shù)細(xì)節(jié)達(dá)成一致，但下一次又會(huì)相互攻訐。與現(xiàn)代的、更尊重事實(shí)的學(xué)術(shù)話語(yǔ)風(fēng)格形成鮮明對(duì)比的是，他們之間的交流火藥味十足，充斥著人身攻擊和相互抬杠，讓人不由質(zhì)疑這些紳士怎么會(huì)有如此多的時(shí)間和精力做這么無(wú)聊的事情。

　　第一個(gè)挑起論戰(zhàn)的是丹尼爾·貝爾努利。早在 1732 年，他就認(rèn)識(shí)到琴弦具有基礎(chǔ)頻率，除此之外，若干其他純音的頻率為該基頻的2、3、4、…倍，它們均能通過(guò)琴弦的振動(dòng)被彈奏出來(lái)；他甚至推測(cè)存在無(wú)窮多個(gè)這種純音。1740 年，他寫(xiě)道：有多種方式能讓一根繃緊的琴弦發(fā)出許多同步產(chǎn)生的顫音，在理論上，其數(shù)量甚至可以是無(wú)窮多個(gè)……當(dāng)［通過(guò)撥動(dòng)］琴弦形成一個(gè)弧形時(shí)，第一個(gè)，也是最根本的模式就出現(xiàn)了；接下來(lái)，琴弦會(huì)呈現(xiàn)出最為緩慢的振動(dòng)，并發(fā)出該琴弦能產(chǎn)生的最低沉的樂(lè)音，此音即為所有其他樂(lè)音的基礎(chǔ)音。另一種模式是讓該琴弦產(chǎn)生兩個(gè)弧形，則振蕩將加快兩倍，琴弦會(huì)發(fā)出比基礎(chǔ)音高出一個(gè)八度的樂(lè)音。

　　請(qǐng)注意，在解釋這一問(wèn)題的時(shí)候，貝爾努利是如何利用音樂(lè)術(shù)語(yǔ)的：“琴弦”“最低沉的樂(lè)音”以及“八度”。很明顯，他的雙手和雙耳都與真實(shí)存在的琴弦親密接觸過(guò)，這種方式與歐拉以及達(dá)朗貝爾過(guò)于抽象的理論方法相比特點(diǎn)鮮明、大相徑庭。在他的回憶錄《關(guān)于弦振動(dòng)的最新理論的思考和啟示》（Reflections and Enlightenments on the New Vibrations of Strings，1747-1748）中，貝爾努利寫(xiě)道：“在我看來(lái)，只需要關(guān)注一下弦振動(dòng)的本質(zhì)，不必依靠任何計(jì)算，就足以推測(cè)出相關(guān)結(jié)論。而偉大的幾何學(xué)家（即達(dá)朗貝爾和歐拉）經(jīng)過(guò)分析思考極其復(fù)雜和抽象的計(jì)算方法，才最終得到這一結(jié)果�！�1753年，貝爾努利重新加入戰(zhàn)團(tuán)，他指出，不同的振動(dòng)模式可以同時(shí)存在，并同時(shí)保持相互獨(dú)立；他由此發(fā)現(xiàn)了疊加原理（principle of superposition）。

　　丹尼爾·貝爾努利或許對(duì)同行們過(guò)度使用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題頗為不屑，但是，問(wèn)題的解決的確要用到數(shù)學(xué)方法。1727 年，約翰·貝爾努利（丹尼爾的父親）曾研究過(guò)振動(dòng)弦的問(wèn)題，他將弦看作一串珠子，即弦的振動(dòng)被視為 n 個(gè)點(diǎn)狀物體的共同運(yùn)動(dòng)。這些點(diǎn)彼此相鄰，并通過(guò)張力與兩側(cè)的相鄰點(diǎn)接觸。這種對(duì)真實(shí)的弦進(jìn)行近似的方法要求人們必須同時(shí)求n個(gè)常微分方程，那是一個(gè)相當(dāng)煩瑣的過(guò)程。1746 年，達(dá)朗貝爾僅用一個(gè)偏微分方程對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行重新表述，該方程就是從此以后為人所熟知的“一維波動(dòng)方程”（one-dimensional wave equation）。他所做的就是讓 n 趨向于無(wú)窮大，則單位質(zhì)量相應(yīng)變小，同時(shí)相鄰質(zhì)量點(diǎn)之間的距離趨近于零。在處理與連續(xù)介質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題方面，這種從離散系統(tǒng)向連續(xù)系統(tǒng)的過(guò)渡是數(shù)學(xué)方法上的一個(gè)巨大進(jìn)步。

　　達(dá)朗貝爾在發(fā)表于 1746 年的一篇論文中，發(fā)現(xiàn)了波動(dòng)方程的解可以用兩個(gè)波來(lái)代表，它們從初始擾動(dòng)開(kāi)始背向傳播。這兩個(gè)波的形狀是由弦的初始狀態(tài)，即在t = 0 時(shí)，弦上每個(gè)點(diǎn)的位移和速度決定的，但擾動(dòng)自身可能具有任意形狀。這隨即就引發(fā)了一個(gè)矛盾：彈撥琴弦的時(shí)候，琴弦最初會(huì)呈現(xiàn)為一個(gè)三角形，即兩條直線在一個(gè)尖點(diǎn)處（此處，曲線的斜率無(wú)法定義）連接在一起；而波動(dòng)方程有一個(gè)最基本的假設(shè)，即琴弦的任何位置均處于光滑狀態(tài)，那么該方程的解怎么能是一個(gè)三角形呢？很快，這一矛盾便將爭(zhēng)論轉(zhuǎn)移到更加寬泛的話題：到底應(yīng)該如何定義一個(gè)方程。方程能否包含一個(gè)尖點(diǎn)，即斜率會(huì)從一個(gè)值瞬間變成另一個(gè)值的點(diǎn)？函數(shù)的圖象是否必須連續(xù)變化？當(dāng)然，方程的概念如今已經(jīng)得到了清晰的闡釋，但是在 18 世紀(jì)，人們對(duì)方程的了解還很貧乏，導(dǎo)致相關(guān)的解釋眾說(shuō)紛紜。

　　針對(duì)這一問(wèn)題，貝爾努利和歐拉給出了一種不同的答案：琴弦的形狀是琴弦振動(dòng)所包含的所有正弦波的總和。這就完全避免了尖角問(wèn)題，也更加符合振動(dòng)的物理性質(zhì)：畢竟，當(dāng)人們彈撥吉他時(shí)，可以聽(tīng)見(jiàn)樂(lè)音，但并沒(méi)有看到波沿著琴弦傳播。至此，這場(chǎng)爭(zhēng)論引發(fā)了一個(gè)新的問(wèn)題：達(dá)朗貝爾提出的波傳播的理論，以及貝爾努利提出的正弦波觀點(diǎn)，這一對(duì)截然不同的基本事實(shí)如何才能成為同一個(gè)方程的答案？此處，我們不必討論具體的技術(shù)細(xì)節(jié)，這會(huì)讓今天的讀者失去耐心；我們只需要挑出這場(chǎng)爭(zhēng)論的幾個(gè)片段：作為主編以及法國(guó)大百科全書(shū)的首席數(shù)學(xué)權(quán)威，達(dá)朗貝爾從未忘記自己的這個(gè)身份，他在《弦的振動(dòng)》（Vibration of Chords，1745）一文中寫(xiě)道：“大體上……我堅(jiān)信我是第一個(gè)解決該問(wèn)題的人；在我之后，歐拉先生給出了幾乎完全一樣的解決方法，唯一的區(qū)別就是他的法似乎更冗長(zhǎng)一點(diǎn)�！必悹柵�利在一封寄給歐拉的信（1750）中寫(xiě)道：“我沒(méi)法弄清達(dá)朗貝爾先生到底想說(shuō)什么……除了摘要，他給不出任何一個(gè)具體的例子。依據(jù)他的觀點(diǎn)，一根琴弦的基本聲音［頻率］為1，而其他的聲音［頻率］分別為［基頻的］2、3、4等整數(shù)［倍］，我很好奇他如何得出這樣的結(jié)論。他在試圖模仿你，但是在他的文章中，除了他的［這種行文］風(fēng)格，我找不到一點(diǎn)事實(shí)。”

　　即使是一貫溫文爾雅的歐拉也逐漸失去了耐性，沒(méi)心思和達(dá)朗貝爾周旋下去。1757 年，在一封寄給法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·莫佩爾蒂（Pierre Maupertuis）的信中，他寫(xiě)道：達(dá)朗貝爾先生通過(guò)論戰(zhàn)讓我們火冒三丈……他對(duì)自己的觀點(diǎn)確信不疑，還炫耀在當(dāng)初和［丹尼爾·］貝爾努利先生就流體力學(xué)進(jìn)行的論戰(zhàn)中獲得了最終的勝利，盡管每個(gè)人都同意實(shí)驗(yàn)結(jié)果站在貝爾努利先生這邊。如果達(dá)朗貝爾先生有克萊羅先生［亞歷克西斯·克萊羅（Alexis Clairaut），在差分方程方面有所貢獻(xiàn)的法國(guó)數(shù)學(xué)家］那樣的坦率，他就該立刻繳械投降。但就事情的發(fā)展來(lái)看，如果法國(guó)科學(xué)院公開(kāi)表示會(huì)將他的觀點(diǎn)記錄下來(lái)，那么數(shù)學(xué)科（這一章節(jié)）在很多年內(nèi)都將充斥著關(guān)于振動(dòng)弦問(wèn)題的爭(zhēng)論，而這些東西沒(méi)有絲毫意義，因此在最后的合集中最好還是將達(dá)朗貝爾先生就該話題發(fā)表的言論壓制下來(lái)。他還要求我承認(rèn)從他那里剽竊了很多東西。但是，我的耐心已經(jīng)耗盡了，我要讓他知道，我什么都不會(huì)做，他隨便到什么地方去發(fā)表他的東西，我才不會(huì)出面阻止。在《百科全書(shū)》里，他有足夠多的東西填滿《聲明》（Claims）那篇文章。

　　這之后，“達(dá)朗貝爾先生不再騷擾我了，我已經(jīng)下定決心，無(wú)論他發(fā)表什么針對(duì)我的言論，我都不會(huì)和他兵戎相見(jiàn)�！�

　　表面上，達(dá)朗貝爾和其他“幾何學(xué)家”（這是他給予自己同行的稱呼）之間的分歧并不完全與學(xué)術(shù)相關(guān)。由于達(dá)朗貝爾與普魯士國(guó)王腓特烈大帝關(guān)系特殊，而且他是柏林科學(xué)院的院長(zhǎng)，同行們或許都曾試圖與他維持良好的關(guān)系。但是，當(dāng)歐拉最終與達(dá)朗貝爾決裂時(shí)，出于打擊報(bào)復(fù)，后者勸說(shuō)腓特烈把身為科學(xué)院首席數(shù)學(xué)家的歐拉轟走，換上拉格朗日。

　　在論戰(zhàn)的后期，拉格朗日也加入戰(zhàn)團(tuán)。盡管作為一名數(shù)學(xué)物理學(xué)家，拉格朗日的聲譽(yù)日隆，但在其他人已經(jīng)得到的成果之外，他幾乎沒(méi)有任何新的進(jìn)展。有時(shí)，他的數(shù)學(xué)推理難以讓人信服，特別是在那篇從離散介質(zhì)談到連續(xù)介質(zhì)的有關(guān)弦的論文中，他使用的邏輯漏洞百出。為掩飾這些問(wèn)題，他用了大段的冗詞贅句［據(jù)數(shù)學(xué)歷史學(xué)家莫里斯·克萊恩（Morris Kline）所言，“基本空洞無(wú)物”］。但是，我們或許還是可以稍微諒解一下他，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，拉格朗日的精力主要放在他的代表著作《分析力學(xué)》（Mécanique analytique，1788）上面。

　　如果就辯論的激烈程度以及主角們各具特色的鮮明性格而言，這場(chǎng)發(fā)生在 18 世紀(jì)的關(guān)于弦問(wèn)題的論戰(zhàn)，似乎預(yù)兆著 20 世紀(jì) 20 年代那場(chǎng)關(guān)于“量子力學(xué)”（quantum mechanics，簡(jiǎn)稱“QM”）本質(zhì)的爭(zhēng)論。和關(guān)于弦的論戰(zhàn)非常類似，QM爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是物質(zhì)在亞原子層面是離散還是連續(xù)的。電子是否應(yīng)該被視為一種物質(zhì)粒子或者一個(gè)波——抑或兩者皆是？“波粒二象性”（wave-particle duality）讓每一個(gè)勇于鉆研的理論物理學(xué)家都深陷其中，維爾納·海森伯（Werner Heisenberg）提出了矩陣力學(xué)（matrix mechanics），與他唱對(duì)臺(tái)戲的是埃爾 溫·薛定諤（Erwin Schr?dinger）基于連續(xù)介質(zhì)的“波動(dòng)方程”（wave equation）［該方程的發(fā)現(xiàn)受到音樂(lè)的啟發(fā)，路易斯·德布羅意（Luis de Broglie）將電子圍繞原子核的運(yùn)動(dòng)描繪成具有不同頻率的波的組合，與小提琴的琴弦相類似，后者的形狀是琴弦振動(dòng)包含的所有正弦波的總和］。

　　有意思的是，量子理論的好幾位先驅(qū)者在其大半生中都鐘愛(ài)音樂(lè)：阿爾伯特·愛(ài)因斯坦和他那把標(biāo)志性的小提琴已經(jīng)成為一個(gè)傳奇（很少有人知道他還彈奏鋼琴），馬克斯·普朗克和保羅·埃倫費(fèi)斯特（Paul Ehrenfest）都是不錯(cuò)的鋼琴家，而維爾納·海森伯最初是想投身音樂(lè)事業(yè)，之后才轉(zhuǎn)入理論物理領(lǐng)域。他們與這些 18 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家形成了鮮明對(duì)比，后者喋喋不休地爭(zhēng)論著讓他們著迷的弦問(wèn)題，大概除了歐拉，無(wú)人對(duì)音樂(lè)保持著基于藝術(shù)的終身愛(ài)好。他們演奏著或可被稱為“數(shù)學(xué)音樂(lè)”（mathematical music）的樂(lè)曲，將畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)值比例的癡迷帶到了一個(gè)新的高度。青年時(shí)期的歐拉，年僅 23 歲時(shí)就撰寫(xiě)了一部關(guān)于音樂(lè)理論的長(zhǎng)篇大作——《一種新的音樂(lè)理論》（Tentamen novae theoriae musicae，1730）。在文中，他嘗試依據(jù)“愉悅”的程度給不同的和弦標(biāo)定某個(gè)數(shù)字尺度。這是一項(xiàng)雄心勃勃的工作，不過(guò)，據(jù)他的助手和未來(lái)的女婿尼古拉·菲斯（Nicolas Fuss）所言，“這篇論文造成的影響非常有限，對(duì)音樂(lè)家來(lái)說(shuō)，它包含的幾何知識(shí)過(guò)于龐雜，而在幾何學(xué)家看來(lái)，它囊括的音樂(lè)知識(shí)又太過(guò)繁復(fù)�！�

　　最終，這場(chǎng)關(guān)于弦的偉大論戰(zhàn)并沒(méi)有完全解決引發(fā)這一討論的問(wèn)題：如何用數(shù)學(xué)公式來(lái)確定以及表征振動(dòng)弦的形狀？盡管四位數(shù)學(xué)家已經(jīng)接近問(wèn)題的答案，但是，人們不得不再等上半個(gè)世紀(jì)，直到另一位法國(guó)人給出了最終的解決方案。關(guān)于他的故事，我們將在下一章講述。

　　毫無(wú)疑問(wèn)，這場(chǎng)論戰(zhàn)對(duì)微積分之后的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響：它探索了應(yīng)對(duì)連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題所要使用的技術(shù)手段，而振動(dòng)弦正是這類問(wèn)題最簡(jiǎn)單的范例。這場(chǎng)論戰(zhàn)也起到了跳板的作用，人們由此開(kāi)始研究其他諸多的連續(xù)系統(tǒng)問(wèn)題，從質(zhì)量分布不均的琴弦到振動(dòng)的梁、膜、鐘以及氣柱。簡(jiǎn)而言之，這場(chǎng)論戰(zhàn)導(dǎo)致了人們稱之為理論聲學(xué)（theoretical acoustics）的誕生。但是，它對(duì)音樂(lè)是否產(chǎn)生了影響？畢達(dá)哥拉斯主義者的夢(mèng)想就是將音樂(lè)置于數(shù)學(xué)的規(guī)范之下，但是音樂(lè)遵循著自己的道路，特立而獨(dú)行，盡管存在一些明顯的例外，卻對(duì)數(shù)學(xué)這位睿智伙伴的影響具有免疫力。兩者之間存在的親密關(guān)系為眾人稱道，但這種關(guān)系在很大程度上只是一廂情愿。

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